Mathématiques pour l'imagerie médicale

Sommaire

Introduction.
1 L'imagerie médicale.

1.1 Les techniques d'imagerie.
1.2 Quelques repères historiques.
1.3 La tomodensitométrie (CT).
1.4 La tomographie par émission monophotonique (SPECT).
1.5 La tomographie par émission de positons (PET).
1.6 L'imagerie par résonance magnétique (IRM).
1.7 Les radiopharmaceutiques.
1.8 Les principes physiques de la tomographie.
1.9 L'échelle de Hounsfield.
1.10 Les algorithmes de reconstruction.
2 La transformée de Radon 25.

2.1 La transformée de Fourier.
2.2 La transformée de Radon.
2.3 Propriétés de la transformée de Radon.
2.4 Transformée de Radon d'une ellipse.
2.5 Relation avec la transformée de Fourier.
2.6 Inversion de la transformée de Radon.
2.7 Transformée de Radon sur R3.
2.8 Exemples de calcul de transformée de Radon.

3 Reconstruction analytique 43.

3.1 Projections et sinogrammes.
3.2 Théorème de la coupe centrale.
3.3 Rétroprojection.
3.4 Rétroprojection filtrée.
3.5 Filtrage.
4 La transformée de Radon sur Rn 49.

4.1 Intégration sur Rn.
4.2 Propriétés de la transformée de Radon.
4.3 Relation avec la transformée de Fourier.
4.4 Potentiels de Riesz.
4.5 Inversion de la transformée de Radon.
4.5.1 Cas des dimensions impaires.
4.5.2 Cas des dimensions paires.
4.6 Harmoniques sphériques.
5 Reconstruction discrète 69.
5.1 Interpolation.
5.1.1 L'interpolation de Lagrange.
5.1.2 L'interpolation d'Hermite.
5.1.3 L'interpolation de Tchebyche.
5.1.4 Les courbes de Bézier.
5.1.5 Les splines cubiques.
5.2 Régression linéaire.
5.3 Échantillonnage et théorème de Nyquist.
5.4 Reconstruction discrète.
5.4.1 Reconstruction par rétroprojection filtrée.
5.4.2 Reconstruction par transformée de Fourier rapide.
6 Méthodes numériques matricielles.
6.1 Méthode de Kaczmarz.
6.2 Conditionnement d'une matrice.
6.2.1 Propriétés du conditionnement.
6.2.2 Estimation du conditionnement.
6.3 Méthodes directes.
6.3.1 Méthode de Cholesky.
6.3.2 Factorisation LU.
6.3.3 Factorisation QR et méthode de Householder.
6.4 Méthodes itératives.
6.4.1 Méthode de Jacobi.
6.4.2 Méthodes de relaxation.
6.5 Méthodes projectives.
6.5.1 Méthode d'Arnoldi.
6.5.2 Méthode GMRES (Generalized Minimum Residual Method).
6.5.3 Méthode FOM (Full Orthogonal Method).
6.5.4 Méthode du gradient conjugué.
6.5.5 Méthode du gradient conjugué pour les moindres carrés.
7 Problèmes inverses.

7.1 Problèmes directs, problèmes inverses.
7.2 Exemples de problèmes inverses.
7.3 Problèmes mal posés.
7.4 Problèmes inverses mal posés.
7.5 L'électro-encéphalographie.
7.6 L'échographie.
8 Régularisation et méthodes itératives algébriques.

8.1 Équation normale.
8.2 Régularisation de Tikhonov.
8.3 Décomposition en valeurs singulières.
8.4 Méthode de troncature spectrale.
8.5 Critère de Morozov.
8.6 Méthode itérative de Landweber.

9 Probabilités.

9.1 Lois de probabilités.
9.1.1 Lois discrètes.
9.1.2 Lois continues.
9.2 Modes de convergence des lois.
9.3 Estimateurs.
9.4 Lois conditionnelles.
9.5 Régression multilinéaire.
9.6 Vecteurs gaussiens.
9.7 Tirages d'échantillons aléatoires.
9.7.1 Méthode des congruences.
9.7.2 Méthode de la transformée inverse.
9.7.3 Méthode de Box-Muller.
9.7.4 Méthode du rejet de von Neumann.
9.7.5 Méthode de Cheng pour une loi gamma.
9.8 Intégration par Monte-Carlo.
9.8.1 Échantillonnage simple.
9.8.2 Réduction de variance.
9.8.3 Échantillonnage suivant l'importance.
9.9 Processus de Markov.
9.9.1 Mouvement brownien.
9.9.2 Chaînes de Markov.
9.10 Algorithme de Metropolis-Hastings.
9.11 Modèle d'Ising.

10 Méthodes itératives statistiques.

10.1 Méthode des moments.
10.2 Méthode ML du maximum de vraisemblance.
10.3 Méthode EM d'espérance-maximisation.
10.4 Méthode MLEM.
10.5 Méthode OSEM.

11 Méthodes bayésiennes.

11.1 Approches bayésiennes.
11.2 Calcul de lois a posteriori.
11.3 Modèles bayésiens linéaires.
11.4 Choix des lois a priori.
11.4.1 Lois conjuguées.
11.4.2 Lois impropres.
11.4.3 Lois de Jeffreys.
11.5 Maximum d'entropie.

12 Simulation de radiothérapie par Monte-Carlo.

12.1 Modélisation des trajectoires.
12.2 Interaction photon-matière.
12.2.1 Diffusion élastique de Rayleigh.
12.2.2 Diffusion inélastique de Compton.
12.2.3 Absorption photoélectrique.
12.3 Algorithme de propagation en milieu inhomogène.

13 Imagerie par résonance magnétique.

13.1 Le moment magnétique.
13.2 La précession de Larmor.
13.3 Phénomènes de relaxation.
13.4 Équations de Bloch.
13.5 Champ radiofréquence.
13.6 Impulsions radiofréquences.
13.7 Localisation et gradients de champ.
13.8 Équations de Bloch-Torrey.
13.9 Échos de spin.
13.10 Reconstruction de l'image.

14 Traitement de l'image.

14.1 L'image numérique.
14.2 Représentation des couleurs.
14.3 Formats de fichiers.
14.4 Filtrage linéaire.
14.4.1 Traitement du flou.
14.4.2 Détection de contours.
14.4.3 Détection de points d'intérêt.

15 Segmentation de l'image.

15.1 Segmentation par seuillage.
15.1.1 Méthode d'Otsu.
15.1.2 Méthode des k-moyennes.
15.2 Segmentation par contours.
15.2.1 Filtre de Canny.
15.2.2 Filtre de Deriche.
15.2.3 Filtre de Shen-Castan.
15.2.4 Contours actifs.
15.3 Segmentation par régions.
15.3.1 Méthode de croissance de régions.
15.3.2 Méthode de découpe-fusion.
15.4 Segmentation par optimisation stochastique.
15.4.1 Fonctionnelle de Mumford et Shah.
15.4.2 Méthodes markoviennes.
15.4.3 Méthode du recuit simulé.

Bibliographie.